A comparison principle for minimizers

We give some conditions that ensure the validity of a Comparison principle for the minimizers of integral functionals, without assuming the validity of the Euler–Lagrange equation. We deduce a weak maximum principle for (possibly) degenerate elliptic equations and, together with a generalization of the bounded slope condition, the Lipschitz continuity of minimizers. To prove the main theorem we give a result on the existence of a representative of a given Sobolev function that is absolutely continuous along the trajectories of a suitable autonomous system.  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Un principe de comparaison pour les minima Résumé. Nous donnons des conditions qui assurent la validité d’un principe de comparaison pour les minimums d’une fonctionnelle intégrale qui ne satisfont pas nécessairement à l’équation d’Euler–Lagrange. Nous en déduisons un principe de maximum faible pour les équations elliptiques (éventuellement) dégénerées et, en généralisant la condition de la pente bornée, la Lipschitz continuité des minimums. La preuve du théorème principal se base sur l’éxistence d’un représentant d’une fonction de Sobolev donnée qui est absolument continu sur les trajectoires d’un système autonome convenable.  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée Nous fixons un ouvert borné Ω de R. La fonction L(x, z, p) est définie dans Ω× R×R et ` est une fonction dans W(Ω), q > 1. La fonction ū est dans W(Ω) et on pose W ū (Ω) = ū+ W 0 (Ω). Dans cette partie nous nous référons aux hypothèses A, A′, B et D du texte anglais qui suit. THÉORÈME PRINCIPAL 1 ([4]). – On suppose que (L, `) satisfait à l’hypothèse B. Soit w un minimum de